หน่วยที่ 1


หน่วยที่ 1 กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ
                   กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ เป็นกฎเกณฑ์ที่ใช้ในการหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่เหตุการณ์อย่างใดอย่างหนึ่งจะเป็นไปได้ ซึ่งความรู้เรื่องนี้จะเป็นประโยชน์ในการเรียนวิธีเรียงสับเปลี่ยนและวิธีจัดหมู่
ตัวอย่างที่ 1      โยนเหรียญบาทพร้อมกัน 2 เหรียญ 1 ครั้ง จะได้ผลลัพธ์แตกต่างกันทั้งหมดกี่วิธี อะไรบ้าง
วิธีทำ      ในการพิจารณาผลลัพธ์ ประกอบด้วยการทำงาน 2 ขั้นตอน คือ
                ขั้นตอนที่ 1  พิจารณาผลลัพธ์จากเหรียญที่ 1 ซึ่งเป็นไปได้ 2 วิธี คือหัวหรือก้อย
                ขั้นตอนที่ 2  แต่ละวิธีของผลลัพธ์ในขั้นตอนที่ 1 ผลลัพธ์ในขั้นตอนที่ 2 ก็เป็นไปได้ 2 วิธี
                ดังนั้น จะได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันทั้งหด  2´2 = 4   วิธี
                ถ้าแทนหน้าหัวด้วย H แทนหน้าก้อยด้วย T จะแสดงผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดด้วย
                แผนภาพต้นไม้ได้ดังนี้

                ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันทั้งหมดมี 4 วิธีคือ (H,H) , (H,T) , (T,H) และ (T,T)   ตอบ


ตัวอย่างที่ 2    นายณเดชมีเสื้อ 6 ตัว  กางเกง 3 ตัว สำหรับสวมไปเที่ยว จงหาว่าเขามีวิธีเลือกสวมเสื้อและกางเกงอย่างละ 1 ตัว เป็นชุดต่าง ๆ กันได้ทั้งหมดที่ชุด
วิธีทำ     ในการแต่งตัว จะประกอบด้วยการทำงาน 2 ขั้นตอน คือ
                ขั้นตอนที่ 1  เลือกเสื้อมาสวม ซึ่งเลือกได้ 6 วิธี
                ขั้นตอนที่ 2  แต่ละวิธีการเลือกเสื้อ สามารถเลือกกางเกงมาสวมได้ 3 วิธี
                ดังนั้น เขาสามารถเลือกเสื้อและกางเกงมาสวมเป็นชุดต่าง ๆ กันได้ทั้งหมด  6´3 = 18 ชุด   ตอบ

ตัวอย่างที่ 3    ศูนย์การค้าแห่งหนึ่ง มีประตูทั้งสี่ทิศ ๆ ละ 1 ประตู ถ้าจะเข้าไปในศูนย์การค้านี้แล้วออกมาจะมีวิธีเข้าออกกี่วิธี ถ้า
(1)   เข้าออกประตูใดก็ได้                    (2)  ห้ามออกทางประตูที่เข้า
วิธีทำ      ในการเข้าออกประตู ประกอบด้วยการทำงาน 2 ขั้นตอน คือ เข้า และ ออกจากประตู
                (1) ขั้นตอนที่ 1  เข้าประตู ซึ่งเลือกเข้าได้ 4 วิธี เพราะมีประตูทั้งหมด 4 ประตู
                       ขั้นตอนที่ 2  แต่ละวิธีของการเข้า สามารถเลือกออกได้ 4 วิธี เช่นเดียวกัน
                       เพราะอาจจะออกประตูเดียวกับที่เข้าก็ได้
                       ดังนั้น จะมีวิธีเข้าออกได้ทั้งหมด  4´4 = 16 วิธี   ตอบ

                (2) ขั้นตอนที่ 1  เข้าประตู  ซึ่งเลือกเข้าได้ 4 วิธี เพราะมีประตูทั้งหมด 4 ประตู
                       ขั้นตอนที่ 2  แต่ละวิธีของการเข้า สามารถเลือกออกได้ 3 วิธี  เพราะจะออกประตูเดียวกับที่เข้าไม่ได้
                       ดังนั้น จะมีวิธีเข้าออกได้ทั้งหมด  4´3 = 12 วิธี   ตอบ

ตัวอย่างที่ 4    ครูคนหนึ่งมีหนังสือที่แตกต่างกัน 2 เล่ม ต้องการแจกหนังสือทั้งหมดให้นักเรียนซึ่งมี 10 คนจะมีแจกหนังสือให้นักเรียนได้ทั้งหมดกี่วิธี ถ้า
                (1)  ไม่มีเงื่อนไขใด ๆ     (2)  ไม่แจกหนังสือซ้ำคน  3)  มีการแจกหนังสือซ้ำคน
วิธีทำ      ในการแจกหนังสือ 2 เล่ม ประกอบด้วยการทำงาน 2 ขั้นตอน คือแจกหนังสือเล่มที่ 1 และ 2
                (1) ขั้นตอนที่ 1  แจกหนังสือเล่มที่ 1  ซึ่งแจกให้นักเรียนคนใดก็ได้ จึงแจกได้ 10 วิธี
                       ขั้นตอนที่ 2  ในแต่ละวิธี จะแจกหนังสือเล่มที่ 2 ให้นักเรียนคนใดก็ได้ จึงแจกได้ 10 วิธี
                       ดังนั้น จะมีวิธีแจกหนังสือได้ทั้งหมด  10´10 = 100 วิธี   ตอบ

                (2) ขั้นตอนที่ 1  แจกหนังสือเล่มที่ 1  ซึ่งแจกให้นักเรียนคนใดก็ได้ จึงแจกได้ 10 วิธี
                       ขั้นตอนที่ 2  ในแต่ละวิธีจะแจกหนังสือเล่มที่ 2 ให้นักเรียนซ้ำคนไม่ได้ จึงแจกได้ 9 วิธี
                       ดังนั้น จะมีวิธีแจกหนังสือได้ทั้งหมด  10´9 = 90 วิธี   ตอบ

                (3) ในข้อนี้ ใช้หลักการคำนวณแบบตรงกันข้าม กล่าวคือ
                       จำนวนวิธีแจกแบบซ้ำคน  = จำนวนวิธีแจกแบบไม่มีเงื่อนไข - จำนวนวิธีแจกแบบไม่ซ้ำคน
                                                                      =  100 – 90 วิธี
                                                                      =  10 วิธี    ตอบ

                   ในกรณีที่การดำเนินงานอย่างหนึ่งประกอบด้วยขั้นตอนย่อย ๆ หลายขั้นตอน จำนวนวิธีการทำงานทุกขั้นตอนให้สำเร็จจะเป็นไปตามกฎต่อไปนี้


ตัวอย่างที่ 5    โยนลูกเต๋า 1 ลูก จำนวน 3 ครั้ง จงหาผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้
วิธีทำ      ในการพิจารณาผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้ ประกอบด้วยการทำงาน 3 ขั้นตอน
                ขั้นตอนที่ 1  พิจารณาผลลัพธ์ของลูกเต๋าจากการโยนครั้งที่ 1 ซึ่งเป็นไปได้ 6 วิธี
                                       เพราะลูกเต๋า 1 ลูก มี 6 หน้า คือหน้าที่เป็นแต้ม 1, 2, 3, 4, 5 และ 6
                ขั้นตอนที่ 2  แต่ละวิธีในขั้นที่ 1 ผลลัพธ์จากการโยนครั้งที่ 2 เป็นไปได้ 6 วิธี
                ขั้นตอนที่ 3  แต่ละวิธีในขั้นที่ 2 ผลลัพธ์จากการโยนครั้งที่ 3 เป็นไปได้ 6 วิธี
                ดังนั้น ผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้จึงเท่ากับ  6´6´6 = 216 วิธี    ตอบ

ตัวอย่างที่ 6    มีจดหมาย 4 ฉบับ จะใส่ในตู้จดหมายซึ่งมีอยู่ 5 ตู้ได้กี่วิธีเมื่อ
                (1) จดหมายฉบับใดอยู่ในตู้ใดก็ได้                   (2)  ห้ามใส่จดหมายมากกว่า 1 ฉบับ ในตู้เดียวกัน
วิธีทำ     การใส่จดหมาย 4 ฉบับ ลงในตู้ 5 ตู้ ประกอบด้วยการทำงาน 4 ขั้นตอน
                (1) ขั้นตอนที่ 1  ใส่จดหมายฉบับที่ 1 ลงในตู้ใดก็ได้ ซึ่งเลือกใส่ได้ 5 วิธี
                       ขั้นตอนที 2  ในแต่ละวิธี ใส่จดหมายฉบับที่ 2 ลงในตู้ใดก็ได้ ซึ่งเลือกใส่ได้ 5 วิธี
                       ขั้นตอนที่ 3  ในแต่ละวิธี ใส่จดหมายฉบับที่ 3 ลงในตู้ใดก็ได้ ซึ่งเลือกใส่ได้ 5 วิธี
                       ขั้นตอนที่ 4  ในแต่ละวิธี ใส่จดหมายฉบับที่ 4 ลงในตู้ใดก็ได้ ซึ่งเลือกใส่ได้ 5 วิธี
                       ดังนั้น จำนวนวิธีใส่จดหมายทั้งหมดลงในตู้เท่ากับ 5´5´5´5 = 625   ตอบ

                (2) ขั้นตอนที่ 1  ใส่จดหมายฉบับที่ 1 ลงในตู้ใดก็ได้ ซึ่งเลือกใส่ได้ 5 วิธี
                       ขั้นตอนที่ 2  ในแต่ละวิธี ใส่จดหมายฉบับที่ 2 ลงในตู้ได้เพียง  4 วิธี  เพราะตู้ใดที่มีฉบับที่ 1
                                             อยู่แล้ว จะใส่ฉบับที่ 2 อีกไม่ได้ จึงเหลือตู้ว่างอยู่เพียง 4 ตู้
                       ทำนองเดียวกันนี้ จึงได้ว่า
                       ขั้นตอนที่ 3  ในแต่ละวิธี ใส่จดหมายฉบับที่ 3 ลงในตู้ได้เพียง  3 วิธี
                       ขั้นตอนที่ 4  ในแต่ละวิธี ใส่จดหมายฉบับที่ 4 ลงในตู้ได้เพียง  2 วิธี
                       ดังนั้น  จำนวนวิธีใส่จดหมายทั้งหมดลงในตู้เท่ากับ  5´4´3´2 = 120 วิธี   ตอบ         

                 ตัวอย่างเพิ่มเติมอื่นๆ ให้นักเรียนศึกษาจากไฟล์ PowerPoint ที่ให้ดาวน์โหลด  
เมื่อนักเรียนดาวน์โหลดไฟล์แล้ว  ให้ให้รหัสเปิดไฟล์  คือ 5  ส่วนรหัสปรับเปลี่ยนไม่ต้องใส่ ให้คลิกเปิดอ่านอย่างเดียว
                  ดาวน์โหลดไฟล์






ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น