หน่วยที่ 1 กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ
กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ
เป็นกฎเกณฑ์ที่ใช้ในการหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่เหตุการณ์อย่างใดอย่างหนึ่งจะเป็นไปได้
ซึ่งความรู้เรื่องนี้จะเป็นประโยชน์ในการเรียนวิธีเรียงสับเปลี่ยนและวิธีจัดหมู่
ตัวอย่างที่
1 โยนเหรียญบาทพร้อมกัน 2 เหรียญ 1 ครั้ง
จะได้ผลลัพธ์แตกต่างกันทั้งหมดกี่วิธี อะไรบ้าง
วิธีทำ ในการพิจารณาผลลัพธ์ ประกอบด้วยการทำงาน 2
ขั้นตอน คือ
ขั้นตอนที่ 1 พิจารณาผลลัพธ์จากเหรียญที่ 1
ซึ่งเป็นไปได้ 2 วิธี คือหัวหรือก้อย
ขั้นตอนที่ 2 แต่ละวิธีของผลลัพธ์ในขั้นตอนที่
1 ผลลัพธ์ในขั้นตอนที่ 2 ก็เป็นไปได้ 2 วิธี
ถ้าแทนหน้าหัวด้วย H แทนหน้าก้อยด้วย T จะแสดงผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดด้วย
ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันทั้งหมดมี 4
วิธีคือ (H,H) , (H,T) , (T,H) และ (T,T)
ตอบ
ตัวอย่างที่
2 นายณเดชมีเสื้อ
6 ตัว กางเกง 3 ตัว สำหรับสวมไปเที่ยว
จงหาว่าเขามีวิธีเลือกสวมเสื้อและกางเกงอย่างละ 1 ตัว เป็นชุดต่าง ๆ
กันได้ทั้งหมดที่ชุด
วิธีทำ ในการแต่งตัว
จะประกอบด้วยการทำงาน 2 ขั้นตอน คือ
ขั้นตอนที่ 1 เลือกเสื้อมาสวม ซึ่งเลือกได้ 6
วิธี
ขั้นตอนที่ 2 แต่ละวิธีการเลือกเสื้อ สามารถเลือกกางเกงมาสวมได้
3 วิธี
ดังนั้น
เขาสามารถเลือกเสื้อและกางเกงมาสวมเป็นชุดต่าง ๆ กันได้ทั้งหมด 6´3 = 18 ชุด ตอบ
ตัวอย่างที่
3 ศูนย์การค้าแห่งหนึ่ง
มีประตูทั้งสี่ทิศ ๆ ละ 1 ประตู
ถ้าจะเข้าไปในศูนย์การค้านี้แล้วออกมาจะมีวิธีเข้าออกกี่วิธี ถ้า
วิธีทำ ในการเข้าออกประตู ประกอบด้วยการทำงาน 2
ขั้นตอน คือ เข้า และ ออกจากประตู
(1) ขั้นตอนที่ 1 เข้าประตู ซึ่งเลือกเข้าได้
4 วิธี เพราะมีประตูทั้งหมด 4 ประตู
ขั้นตอนที่
2 แต่ละวิธีของการเข้า
สามารถเลือกออกได้ 4 วิธี เช่นเดียวกัน
เพราะอาจจะออกประตูเดียวกับที่เข้าก็ได้
ดังนั้น
จะมีวิธีเข้าออกได้ทั้งหมด 4´4 = 16 วิธี ตอบ
(2) ขั้นตอนที่ 1 เข้าประตู ซึ่งเลือกเข้าได้ 4 วิธี
เพราะมีประตูทั้งหมด 4 ประตู
ขั้นตอนที่ 2 แต่ละวิธีของการเข้า
สามารถเลือกออกได้ 3 วิธี เพราะจะออกประตูเดียวกับที่เข้าไม่ได้
ดังนั้น
จะมีวิธีเข้าออกได้ทั้งหมด 4´3 = 12 วิธี ตอบ
ตัวอย่างที่
4 ครูคนหนึ่งมีหนังสือที่แตกต่างกัน
2 เล่ม ต้องการแจกหนังสือทั้งหมดให้นักเรียนซึ่งมี 10
คนจะมีแจกหนังสือให้นักเรียนได้ทั้งหมดกี่วิธี ถ้า
(1) ไม่มีเงื่อนไขใด ๆ (2) ไม่แจกหนังสือซ้ำคน 3) มีการแจกหนังสือซ้ำคน
วิธีทำ ในการแจกหนังสือ 2 เล่ม ประกอบด้วยการทำงาน
2 ขั้นตอน คือแจกหนังสือเล่มที่ 1 และ 2
(1) ขั้นตอนที่ 1 แจกหนังสือเล่มที่
1 ซึ่งแจกให้นักเรียนคนใดก็ได้ จึงแจกได้
10 วิธี
ขั้นตอนที่
2 ในแต่ละวิธี
จะแจกหนังสือเล่มที่ 2 ให้นักเรียนคนใดก็ได้ จึงแจกได้ 10 วิธี
ดังนั้น
จะมีวิธีแจกหนังสือได้ทั้งหมด 10´10 = 100 วิธี ตอบ
(2) ขั้นตอนที่ 1 แจกหนังสือเล่มที่
1 ซึ่งแจกให้นักเรียนคนใดก็ได้ จึงแจกได้
10 วิธี
ขั้นตอนที่
2 ในแต่ละวิธีจะแจกหนังสือเล่มที่
2 ให้นักเรียนซ้ำคนไม่ได้ จึงแจกได้ 9 วิธี
ดังนั้น
จะมีวิธีแจกหนังสือได้ทั้งหมด 10´9 = 90 วิธี ตอบ
(3) ในข้อนี้ ใช้หลักการคำนวณแบบตรงกันข้าม กล่าวคือ
= 100 – 90 วิธี
=
10 วิธี ตอบ
ในกรณีที่การดำเนินงานอย่างหนึ่งประกอบด้วยขั้นตอนย่อย
ๆ หลายขั้นตอน จำนวนวิธีการทำงานทุกขั้นตอนให้สำเร็จจะเป็นไปตามกฎต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 5 โยนลูกเต๋า 1 ลูก จำนวน 3 ครั้ง จงหาผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้
ตัวอย่างที่ 5 โยนลูกเต๋า 1 ลูก จำนวน 3 ครั้ง จงหาผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้
วิธีทำ ในการพิจารณาผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้
ประกอบด้วยการทำงาน 3 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 พิจารณาผลลัพธ์ของลูกเต๋าจากการโยนครั้งที่
1 ซึ่งเป็นไปได้ 6 วิธี
เพราะลูกเต๋า 1 ลูก มี
6 หน้า คือหน้าที่เป็นแต้ม 1, 2, 3, 4, 5 และ 6
ขั้นตอนที่ 2 แต่ละวิธีในขั้นที่ 1
ผลลัพธ์จากการโยนครั้งที่ 2 เป็นไปได้ 6 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 แต่ละวิธีในขั้นที่ 2
ผลลัพธ์จากการโยนครั้งที่ 3 เป็นไปได้ 6 วิธี
ดังนั้น
ผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้จึงเท่ากับ 6´6´6 = 216 วิธี ตอบ
ตัวอย่างที่
6 มีจดหมาย
4 ฉบับ จะใส่ในตู้จดหมายซึ่งมีอยู่ 5 ตู้ได้กี่วิธีเมื่อ
(1) จดหมายฉบับใดอยู่ในตู้ใดก็ได้ (2) ห้ามใส่จดหมายมากกว่า
1 ฉบับ ในตู้เดียวกัน
วิธีทำ การใส่จดหมาย 4 ฉบับ ลงในตู้ 5 ตู้
ประกอบด้วยการทำงาน 4 ขั้นตอน
(1) ขั้นตอนที่ 1 ใส่จดหมายฉบับที่ 1
ลงในตู้ใดก็ได้ ซึ่งเลือกใส่ได้ 5 วิธี
ขั้นตอนที 2 ในแต่ละวิธี ใส่จดหมายฉบับที่ 2
ลงในตู้ใดก็ได้ ซึ่งเลือกใส่ได้ 5 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 ในแต่ละวิธี ใส่จดหมายฉบับที่ 3
ลงในตู้ใดก็ได้ ซึ่งเลือกใส่ได้ 5 วิธี
ขั้นตอนที่ 4 ในแต่ละวิธี ใส่จดหมายฉบับที่ 4
ลงในตู้ใดก็ได้ ซึ่งเลือกใส่ได้ 5 วิธี
ดังนั้น
จำนวนวิธีใส่จดหมายทั้งหมดลงในตู้เท่ากับ 5´5´5´5 =
625 ตอบ
(2) ขั้นตอนที่ 1 ใส่จดหมายฉบับที่
1 ลงในตู้ใดก็ได้ ซึ่งเลือกใส่ได้ 5 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 ในแต่ละวิธี ใส่จดหมายฉบับที่ 2
ลงในตู้ได้เพียง 4 วิธี เพราะตู้ใดที่มีฉบับที่ 1
อยู่แล้ว จะใส่ฉบับที่ 2 อีกไม่ได้ จึงเหลือตู้ว่างอยู่เพียง
4 ตู้
ทำนองเดียวกันนี้
จึงได้ว่า
ขั้นตอนที่ 3 ในแต่ละวิธี ใส่จดหมายฉบับที่ 3
ลงในตู้ได้เพียง 3 วิธี
ขั้นตอนที่ 4 ในแต่ละวิธี ใส่จดหมายฉบับที่ 4
ลงในตู้ได้เพียง 2 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีใส่จดหมายทั้งหมดลงในตู้เท่ากับ 5´4´3´2
= 120 วิธี ตอบ ตัวอย่างเพิ่มเติมอื่นๆ ให้นักเรียนศึกษาจากไฟล์ PowerPoint ที่ให้ดาวน์โหลด
เมื่อนักเรียนดาวน์โหลดไฟล์แล้ว ให้ให้รหัสเปิดไฟล์ คือ 5 ส่วนรหัสปรับเปลี่ยนไม่ต้องใส่ ให้คลิกเปิดอ่านอย่างเดียว
ดาวน์โหลดไฟล์
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น